જો $x = \int_{-y}^{y} \frac{dt}{\sqrt{1 + 9t^2}}$ અને $\frac{d^2y}{dx^2} = ky$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

જો $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \int \limits_0^x (4 \sqrt{2} \sin t - 3 \phi^{\prime}(t)) dt, \quad x > 0$ હોય,તો $\phi^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f:[0, \infty) \rightarrow R$ એક સતત વિધેય છે જેથી તમામ $x \in[0, \infty)$ માટે $f(x)=1-2 x+\int_0^x e^{x-t} f(t) d t$ થાય. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ વક્ર $y=f(x)$ બિંદુ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે
$(B)$ વક્ર $y=f(x)$ બિંદુ $(2,-1)$ માંથી પસાર થાય છે
$(C)$ પ્રદેશ $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi-2}{4}$ છે
$(D)$ પ્રદેશ $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi-1}{4}$ છે

વિકલ સમીકરણ $\cos^2 x \frac{d^2y}{dx^2} = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$ નો ઉકેલ છે જે $y(1) = 1$ નું સમાધાન કરે છે. તો, $y$ નીચેનામાંથી કોનું સમાધાન કરે છે?

ધારો કે $\frac{dy}{dx} = \frac{ax - by + a}{bx + cy + a}$,જ્યાં $a, b, c$ અચળાંકો છે,તે $(2, 5)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું વર્તુળ દર્શાવે છે. તો આ વર્તુળથી $(11, 6)$ બિંદુનું લઘુત્તમ અંતર કેટલું છે?